Сначала рассмотрим простые задачи на совместную работу с двумя участниками. Далее указан год сборника заданий для подготовки к ЕГЭ, откуда взята задача. Начнём с подготовительной задачи.
Задача 1. Валя пропалывает грядку за 40 минут, а Галя — за 10 минут. За сколько минут Валя и Галя пропалывают грядку при совместной работе?
II способ. Предположим, что Валя и Галя работали совместно 40 минут. За это время Валя прополола 1 грядку.
- 1) 40: 10 = 4 (грядки) — прополола за 40 минут Галя,
- 2) 1 + 4 = 5 (грядок) — пропололи за 40 минут Валя и Галя при совместной работе,
- 3) 40: 5 = 8 (мин) — время прополки одной грядки при совместной работе Вали и Гали.
III способ. Предположим, грядка была длиной 40 м, тогда Валя пропалывает 40: 40 = 1 (м/мин), а Галя — 40: 10 = 4 (м/мин). Валя и Галя при совместной работе пропалывают 1 + 4 = 5 (м/мин). Вдвоём они прополют грядку за
40: 5 = 8 (мин).
Ответ. За 8 мин.
Замечание. I способ даёт нам полное решение, не зависящее от времени работы или длины грядки. II и III способы решения даны для частных случаев (можно было взять другое время работы или другую длину грядки).
Полное решение получится, если мы докажем, что ответ не зависит от выбора дополнительного условия. Так как на экзамене нужно указать лишь правильный ответ, то II и III способы вполне можно применять.
Чтобы обосновать III-й способ решения, можно обозначить объём работы (длину грядки) буквой и фактически повторить I-й способ решения.
Задача 2. (2018) Валя и Галя пропалывают грядку 8 минут, а одна Галя — за 10 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Валя?
II способ. Предположим, что Валя и Галя работали совместно 40 минут. За это время они вдвоём пропололи:
- 1) 40: 8 = 5 (грядок),
- 2) 40: 10 = 4 (грядки) — прополола за 40 минут Галя,
- 3) 5 — 4 = 1 (грядку) — прополола за 40 минут Валя.
- Значит, одна Валя пропалывает грядку за 40 минут.
III способ. Предположим, грядка была длиной 40 м, тогда Валя и Галя при совместной работе пропалывали 40: 8 = 5 (м/мин), а одна Галя — 40: 10 = 4 (м/мин). Тогда одна Валя пропалывала 5 — 4 = 1 (м/мин). На всю грядку Вале требуется 40: 1 = 40 (мин).
Ответ. За 40 мин.
Задача 3. Через первый кран бассейн наполнится за 40 минут, через второй — за 60 минут, через третий — за 48 минут. За сколько минут три крана заполнят бассейн при совместной работе?
Решение. Примем всю работу за 1.
Есть ещё один способ решения, похожий на способ решения задачи про кадь кваса.
Пусть трубы могут одновременно наполнять несколько бассейнов. За 240 минут первая труба наполнит 6, вторая 4, третья 5 бассейнов, а вместе — 15 бассейнов. При совместной работе три трубы тратят на 1 бассейн
240: 15 = 16 (мин).
Задача 4. (2018) Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 ч. Через 5 ч после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели вместе. За сколько часов был выполнен весь заказ?
Решение. I способ. Примем всю работу за 1.
II способ. Пусть надо было обточить 30 деталей.
- 1) 30: 15 = 2 (дет.) — обтачивает один рабочий за 1 ч,
- 2) 2 + 2 = 4 (дет.) — обтачивают два рабочих за 1 ч совместной работы,
- 3) 2 ∙ 5 = 10 (дет.) — обточил один рабочий за 5 ч,
- 4) 30 — 10 = 20 (дет.) — обточили два рабочих при совместной работе,
- 5) 20: 4 = 5 (ч) — работали два рабочих вместе,
- 6) 5 + 5 = 10 (ч) — время выполнения всего заказа.
Ответ. За 10 ч.
Задача 5. (2018) Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, а во второй — 21 рабочий. Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 12 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа выполнили одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.
Для решения задач, где все работники имеют одинаковую производительность труда, удобно применять единицу измерения объёма работы «человеко-день». Например, 10 чел. ∙ дней — это объём работы, который может выполнить 1 человек за 10 дней, или 5 человек за 2 дня, или 2 человека за 5 дней.
Решение. I способ. Примем всю работу за 1.
- 1) 12 ∙ 10 = 120 (человеко-дней) — объём работы, выполненной 12-ю рабочими первой бригады за 10 дней,
- 2) 21 ∙ 10 = 210 (человеко-дней) — объём работы, выполненной 21-им рабочим второй бригады за 10 дней,
- 3) 210 — 120 = 90 (человеко-дней) — объём работы второй бригады, который предстоит компенсировать первой бригаде после перехода 12 рабочих,
- 4) 12 + 12 — (21 — 12) = 15 (чел.) — на столько рабочих стало в первой бригаде больше, чем во второй,
- 5) 90: 15 = 6 (дней) — потребуется первой бригаде, чтобы наверстать отставание в объёме работы,
- 6) 10 + 6 = 16 (дней) — время выполнения двух заказов.
II способ. Пусть после перехода 12 рабочих бригады работали ещё x дней. Приравняем объёмы выполненной работы (в человеко-днях) двух бригад за всё время работы.
12 ∙ 10 + (12 + 12)x = 21 ∙ 10 + (21 — 12)x.
Это уравнение имеет единственный корень 6, поэтому время выполнения двух заказов равно 10 + 6 = 16 (дней).
Ответ. 16 дней.
Замечание. При решении этой задачи можно обойтись без человеко-дней, если считать, что каждый рабочий в час выполняет y единиц работы (обтачивает y деталей и т. п.). Тогда, рассуждая, как во втором способе решения, приравняем объемы работы двух бригад:
12 ∙ 10y + (12 + 12)xy = 21 ∙ 10y + (21 — 12)xy.
Разделив это уравнение на число y, отличное от нуля, получим то же уравнение, что и при II-м способе решения задачи.
Задача 6. (2018) Игорь и Паша красят забор за 12 часов. Паша и Володя красят тот же забор за 15 часов, а Володя и Игорь — за 20 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?
II способ. Пусть было два Игоря, два Паши и два Володи. Мальчики с одинаковыми именами работали с одинаковой производительностью. Пусть они вшестером одновременно красят заборы 60 ч.
За это время Игорь и Паша покрасят 60: 12 = 5 (заборов), Паша и Володя — 60: 15 = 4 (забора), а Володя и Игорь — 60: 20 = 3 (забора).
Шесть мальчиков за 60 ч покрасят 5 + 4 + 3 = 12 (заборов), на 1 забор они тратят 60: 12 = 5 (ч), три мальчика тратят на забор в 2 раза больше времени — 10 ч.
Ответ. За 10 ч.
В следующей задаче нет совместной работы, но она решается похожим арифметическим способом.
Задача 7. (2018) Костя и Гриша выполняют одинаковый тест. Костя отвечает за час на 12 вопросов, а Гриша — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Костя закончил свой тест позже Гриши на 90 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Решение. I способ.
- 1) 60: 12 = 5 (мин) — тратит на 1 вопрос Костя,
- 2) 60: 20 = 3 (мин) — тратит на 1 вопрос Гриша,
- 3) 5 — 3 = 2 (мин) — на каждый вопрос Костя тратит на 2 мин больше, чем Гриша, а всего он потратил на 90 мин больше,
- 4) 90: 2 = 45 (вопросов) — в тесте.
II способ. Пусть в тесте было x вопросов.
- 1) 60: 12 = 5 (мин) — Костя тратит на 1 вопрос, значит, 5x минут тратит на все вопросы,
- 2) 60: 20 = 3 (мин) — Гриша тратит на 1 вопрос, значит, 3x минут тратит на все вопросы.
- Составим уравнение:
- 5x — 3x = 90,
- x = 45.
- В тесте 45 вопросов.
Ответ. 45.
Задача 8. (2009) Два плотника, работая вместе, могут выполнить задание за 36 ч. Производительности труда первого и второго плотников относятся как 3: 4. Плотники договорились работать поочерёдно. Какую часть этого задания должен выполнить второй плотник, чтобы всё задание было выполнено за 69,3 ч?
Решение. I способ. Примем всю работу за 1.
- Пусть первый выполнил часть работы, выражаемую дробью x, тогда второй — часть работы, выражаемую дробью 1 — x, они затратили 84x ч и 63(1 — x) ч соответственно при поочерёдной работе, а всего — 69,3 ч. Составим уравнение:
- 84x + 63(1 — x) = 69,3.
Это уравнение имеет единственный корень x = 0,3. Первый выполнил 0,3 работы, второй — 1 — x = 0,7.
Ответ. 0,7.
Для самостоятельного решения
9. Малыш может съесть все плюшки за 20 минут, а Карлсон — за 5 минут. За сколько минут они съедят все плюшки вместе?
10. Две бригады при совместной работе выполнят задание за 14 дней. Одна первая бригада могла бы выполнить это задание за 21 день. За сколько дней одна вторая бригада могла бы выполнить это задание?
11. Три трубы заполнили бассейн при совместной работе за 15 минут. Одна первая труба наполнит бассейн за 35 минут, а одна вторая — за 63 минуты. За сколько минут одна третья труба заполнит бассейн?
12. (2018) Коля и Митя выполняют одинаковый тест. Коля отвечает за час на 12 вопросов, а Митя — на 21. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Коля закончил свой тест позже Мити на 105 минут. Сколько вопросов содержит тест?
13. (2009) Два каменщика, работая вместе, могут выполнить задание за 12 ч. Производительности труда первого и второго каменщиков относятся как 1: 3. Каменщики договорились работать поочерёдно. Сколько часов должен проработать первый, чтобы это задание было выполнено за 20 ч?
14. (2009) Отец с сыном должны вскопать огород. Производительность труда отца в 2 раза больше, чем у сына. Работая вместе, они могут вскопать огород за 4 ч. Однако вместе они проработали только 1 час, потом некоторое время работал один сын, а заканчивал работу уже один отец. Сколько часов в общей сложности проработал в огороде отец, если вся работа была выполнена за 7 часов?
15. (2019) Первый и второй насосы наполняют бассейн за 21 минуту, второй и третий — за 28 минут, первый и третий — за 36 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
16. (2018) Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 24 часа, а Володя и Игорь — за 36 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?
Ответы. 9. За 4 мин. 10. За 42 дня. 11. За 45 мин. 12. 49 ч. 13. 6 ч. 14. 4 ч. 15. За 18 мин. 16. За 16 ч.
Для работы с классом можно использовать презентацию:
Совместная работа. Задачи 11 из ЕГЭ
Урок 70. задачи на совместную работу и движение навстречу друг другу — Математика — 5 класс — Российская электронная школа
- Математика
- 5 класс
- Урок № 70
- Задачи на совместную работу и движение навстречу друг другу
- Перечень рассматриваемых вопросов:
- – решение задач на совместную работу без использования дробей;
- – использование аналогии между задачами на совместную работу и задачами на движение навстречу;
- – решение задач нестандартным способом.
- Тезаурус
- Наименьшее общее кратное натуральных чисел a и b – наименьшее натуральное число, делящееся нацело на каждое из чисел a и b.
- Производительность – часть работы, выполненной за единицу времени.
- Общая производительность – объём (часть) работы, выполненной совместно всеми работниками за единицу времени.
- Время работы – время, за которое выполняется работа.
- Обязательная литература
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС//С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На предыдущем уроке мы познакомились с понятиями производительность, совместная работа, разобрали арифметический способ решения задач на совместную работу. Но кроме рассмотренного варианта существуют другие способы и приёмы решения таких задач, познакомимся с одним из них.
Задача. Первая труба заполняет бассейн за 14 часов, а вторая за 35 часов. За какое время заполнится бассейн при одновременной работе обеих труб?
Разобранный на предыдущем уроке способ заключался в следующих действиях:
Решение:
Ответ: за 10 часов.
Решим эту же задачу другим способом.
У нас есть два времени – 14 и 35 часов. Подберём число, которое делится без остатка и на 14, и на 35. Это число 70. 70 часов – это время, за которое первая труба может наполнить пять бассейнов, а вторая труба – два бассейна. Работая вместе, за 70 часов обе трубы наполнят 7 бассейнов. Значит, один бассейн они будут наполнять за время, в семь раз меньшее 70-ти, то есть за 10 часов.
Ответ: за 10 часов.
Решим таким же способом задачу, в которой нужно найти не время общей работы, а производительность одного из работников.
Задача. Два работника обмолотили воз пшеницы за 8 часов. Известно, что первый из них, работая один, может справится за 12 часов. За сколько времени может обмолотить пшеницу второй работник, работая один?
- Решение:
- Подбираем число, которое делится без остатка на 8 и 12 – это число 24.
- Подсчитаем, сколько возов за 24 часа они могли бы обмолотить вместе.
- 24 : 8 = 3 (воза) – обмолотят вместе за 24 часа
- Знаем, что один работник справляется с возом пшеницы за 12 часов. Значит за 24 часа он может обмолотить: 24 : 12 = 2 (воза) – обмолотит первый работник за 24 часа
- Значит, один за 24 часа молотит 2 воза пшеницы, а вдвоём – 3 воза. Тогда второй за 24 часа: 3 – 2 = 1 (воз) – обмолотит второй работник за 24 часа
- Ответ: за 24 часа.
- Рассмотрим ещё один тип задач.
Задача. Маша проходит расстояние от школы до дома за 30 минут, а её брат проходит это же расстояние за 20 минут. Через сколько минут Маша встретится с братом, если они выйдут одновременно навстречу друг другу?
Такие задачи относятся к задачам на «совместную работу», хотя очевидной работы нет. Здесь работой является прохождение пешеходами пути. А совместной работой – прохождение пути вместе, но не рядом, а навстречу друг другу. Чтобы каждый прошёл свою часть пути, выполнил свою часть работы.
- Подберём число, делящееся без остатка на 20 и на 30 – это число 60.
- 1) 60 : 30 = 2 (расстояния) – может пройти Маша за 60 минут
- 2) 60 : 20 = 3 (расстояния) – может пройти брат за 60 минут
- За 60 минут Маша успеет пройти путь 2 раза, а брат успеет пройти этот путь 3 раза.
- 3 + 2 = 5 (расстояний) – проходят за 60 минут вдвоём
- То есть вместе за 60 минут они проходят расстояние, равное 5 расстояниям от дома до школы.
- Пять расстояний за 60 минут, значит, время на одно расстояние можно найти, разделив 60 на 5.
- 60 : 5 = 12 (минут) – время на прохождение одного расстояния при движении навстречу
- Двенадцать минут потратят на весь путь Маша и брат, двигаясь навстречу друг другу.
- Ответ: встретятся через 12 минут.
- Алгоритм решения задач на совместную работу (нестандартный приём):
- Т1, Т2, Т3 – время, за которое объекты выполняют всю работу, работая по одному.
- Всю выполненную работу принять за единицу (1);
- Подобрать число Т, одновременно делящееся без остатка на Т1, Т2, Т3;
- Подсчитать, сколько раз за время Т каждым работником может быть выполнена работа, принятая за 1;
- Найти общее количество «работ», которое могут выполнить все работники за время Т;
- Найти время совместного выполнения работы, разделив Т на общее количество «работ».
- Решим задачу на совместную работу повышенной сложности.
Задача. Чтобы загрузить вагон с песком, используют два погрузчика, которые, действуя одновременно, загружают вагон за 6 минут. При загрузке оба погрузчика работали в течение 2 минут, потом работал только второй погрузчик, который через 12 минут закончил загрузку. За сколько минут каждый погрузчик, действуя один, может загрузить вагон песком?
Решение.
Известно время загрузки вагона двумя погрузчиками, найдём их общую производительность. Для этого всю работу, принятую за единицу, разделим на время выполнения этой работы:
(часть работы за 1 минуту) – общая производительность
Найдём, какую часть работы выполнят два погрузчика за 2 минуты. Для этого общую производительность умножим на время работы:
Это выполненная часть работы
Найдём оставшуюся часть работы, которую выполнял второй погрузчик, вычтя из всей работы, равной 1, выполненную часть работы:
Это оставшаяся часть работы.
Оставшуюся часть работы выполнил 2-й погрузчик за 12 минут. Найдём его производительность, разделив выполненную им часть работы на время работы:
Это производительность 2-го погрузчика.
Зная общую производительность и производительность 2-го погрузчика, найдём производительность 1-го погрузчика, вычтя из общей производительности производительность 2-го:
Это производительность 1-го погрузчика
Зная производительности, найдём время работы каждого, разделив всю работу на соответствующую производительность:
18(мин) – время работы 2-го погрузчика
9 (мин) – время работы 1-го погрузчика
Ответ: на загрузку всего вагона 1-й погрузчик затратит 9 мин. , 2-й погрузчик – 18 мин.
На уроке мы провели аналогию между задачами на движение навстречу и задачами на совместную работу; рассмотрели нестандартный способ решения задач на совместную работу и движение навстречу, который позволяет решать задачи без использования дробей.
Тренировочные задания
№ 1. Актовый зал школы оформляют к последнему звонку. 9 «A» класс может оформить зал за 4 ч, 9 «Б» – за 5 часов, 9 «В» – за 6 часов. За какое время, работая вместе, 9-е классы оформят актовый зал к празднику?
- Решение.
- Подберём число, делящееся без остатка на 4, 5, 6 – это 60.
- Посчитаем, сколько раз каждый класс может оформить зал за 60 часов:
- 60 : 4 = 15 (раз) – 9 «А»
- 60 : 5 = 12 (раз) – 9 «Б»
- 60 : 6 = 10 (раз) – 9 «В»
- Всего за 60 часов три класса, работая вместе, могут оформить зал:
- 15 + 12 + 10 = 27 (раз) могут оформить зал три класса, работая вместе.
- Если за 60 часов оформляется 27 залов, значит, один зал будет оформлен за:
Ответ: 20/9 (ч) – время на оформление зала при совместной работе 3-х классов.
№ 2. Первая бригада может положить асфальт за 20 дней, второй бригаде требуется половина этого времени, а третьей бригаде – в 3 раза больше, чем второй. За сколько дней положат асфальт три бригады, работая вместе?
- Решение.
- Определим, сколько времени требуется каждой бригаде, если второй необходима половина времени 1-й бригады:
- 20 : 2 = 10 (д) – время работы 2-й бригады.
- 3-й бригаде времени надо в 3 раза больше, чем 2-й бригаде:
- 10 ∙ 3 = 30 (д) – время работы 3-й бригады.
- Подберём число, делящееся на 10, 20, 30 без остатка – это число 60.
- Сосчитаем, сколько «работ» может выполнить каждая бригада за 60 дней:
- 60 : 20 = 3 – 1-я бригада.
- 60 : 10 = 6 – 2-я бригада.
- 60 : 30 = 2 – 3-я бригада.
- Найдём общее количество работ при совместной работе всех бригад за 60 дней: 3 + 6 + 2 = 11
- Если за 60 дней три бригады при совместной работе могут положить асфальт 11 раз, значит, на 1 раз потребуется времени:
- Ответ: 60/11 (дней) будут выполнять работу три бригады вместе.
Как решить задачу с трубами заполняющими бассейн
Решение задач на совместную работу
Главная > Решение
| Информация о документе |
| Дата добавления: |
| Размер: |
| Доступные форматы для скачивания: |
Тема. Задачи на совместную работу (бассейн)
Ребята! Здравствуйте! Ознакомьтесь с основными понятиями по данной теме и разберите предложенные задачи. Советую Вам сначала попробовать самостоятельно составить математическую модель к задаче, затем проверить решение. Если возникнут вопросы по решению, можно их задать и получить консультацию по адресу:
1) Обычно объём работы принимают за единицу. В задачах с бассейнами и трубами объём бассейна принимают за единицу. Но можно также обозначить любой буквой (произвольной постоянной).
2) Производительность работы — это количество работы, выполненной за единицу времени.
Например, если одна труба наполняет бассейн за 5 часов, то за
1 час она наполнит бассейна. Если токарь выполняет задание за 12 дней, то за 1 день он выполнит часть задания.
3) При решении задач, связанных с выполнением (индивидуально или совместно) определенного объема работы, используют формулу
где А — количество всей работы, намеченной к выполнению (по смыслу задачи часто А принимают за единицу), t — время выполнения всего количества работы, P — производительность труда, т. е. количество работы, выполняемой в единицу времени.
Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним субъектом за t 1 , а вторым — за t 2 единиц времени, то производительность труда при их совместном выполнении того же объема работы равна
Решение задач на совместную работу
Пример 1. Две трубы вместе наполняют бассейн за 3 ч. Одна первая труба может наполнить бассейна на 8 ч быстрее, чем одна вторая труба. За сколько часов может наполнить бассейн одна первая труба?
Решение. Типовая задача на работу. Пусть 1-я труба наполняет бассейн за х(ч), а 2-я за – у(ч). Тогда + – объем, наполняемый обеими трубами вместе за 1ч. Так как две трубы наполняют бассейн за 3 ч, то за 1ч они наполнят объема бассейна. Уравнение + = ; по условию у – х = 8. Из системы х = 4; у = 12.
Замечание. Чтобы вместо дробно – рациональных уравнений получить линейные за неизвестную величину иногда рациональнее принять производительность.
Пример 2. Бассейн наполняется четырьмя трубами за 4 часа. Первая, вторая и четвертая заполняют за 6 часов. Вторая, третья и четвертая – за 5 часов. За сколько часов заполняют бассейн первая и третья трубы?
Решение. Пусть x, y, z, u – производительности 1-й, 2-й, 3-й и 4-й труб.(Если за неизвестное принять время выполнения всего объема работы, то уравнения получатся сложнее). Тогда получаем систему уравнений
Чем изолировать трубы полипропиленовые для отопления
- Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем z = ; из 1-го 3-е, что – х = .
- Общая производительность 1 и 3 труб z + x = .
- Тогда искомое время = 7,5 ч
Пример 3. Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 6 часов. За какое время наполняет бассейн каждая труба, если известно, что в течение часа из первой трубы вытекает па 50% больше воды, чем из второй?
В течение часа из первой трубы вытекает на 50% больше воды, чем из второй, то есть х = 1,5 у .
Таким образом, за 1 час первая труба наполняет бассейна, а вторая бассейна. То есть первая труба наполнит весь бассейн за 10 часов, а вторая — за 15 часов.
Ответ: 10 ч, 15 ч.
Пример 4. Три насоса, качающие воду для поливки, начали работать одновременно. Первый и третий насосы закончили работу одновременно, а второй — через 2 ч после начала работы.
В результате первый насос выкачал 9 м 3 воды, а второй и третий вместе 28 м 3 .
Какое количество воды выкачивает за час каждый насос, если известно, что третий насос за час выкачивает на 3 м 3 больше, чем первый, и что три насоса, работая вместе, выкачивают за час 14 м 3 ?
Источник
Решение текстовой задачи В13 (2015). Задача на трубы
Задание В14 (№26599) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике: Первая труба пропускает на 3л воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 648 л она заполняет на 3 мин. быстрее, чем первая труба?
В задачах «на трубы» мы имеем дело с тремя параметрами. Запишем их, и в скобках укажем их размерность:
- пропускная способность трубы — объём жидкости, который труба пропускает в единицу времени (л/мин);
- объём резервуара, который необходимо заполнить, или, наоборот, освободить (л);
- время (мин).
Эти параметры связаны таким соотношением:
Заметим, что эти параметры аналогичны скорости, расстоянию и времени в задачах на движение, и связаны между собой таким же соотношением.
В задаче спрашивается, сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба — эту величину мы и примем за . Поскольку по условию задачи первая труба пропускает на 3л воды в минуту меньше, чем вторая, то пропускную способность первой трубы обозначим .
Как распилить металлопластиковую трубу
- Занесем все данные задачи в таблицу. Сначала заполним столбец, который содержит величину, выраженную через неизвестное (это пропускная способность):
- Теперь заполним столбец, параметры которого даны. Это объём резервуара:
- Теперь параметры оставшегося столбца (времени) выразим через параметры первых двух (пропускную способность и объём резервуара):
Уравнение будем составлять для времени. По условию задачи вторая труба заполняет заполняет резервуар на 3 мин. быстрее, чем первая труба, следовательно величина на 3 меньше,чем величина .
- Перенесем все слагаемые влево:
- Чтобы упростить вычисления, разделим числитель каждой дроби на 3:
- Приведем к общему знаменателю:
- Приравняем числитель к нулю, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим уравнение:
- , , — не подходит по смыслу задачи.
- Источник
Первая труба заполняет бассейн за 7 часов, а две трубы вместе — за 5 часов 50 минут. За сколько часов заполняет бассейн одна вторая труба?
Первая труба заполняет бассейн за 7 часов, две трубы вместе — за за 5 часов 50 минут то есть за 35/6 часа. Это значит, что за час первая труба заполняет 1/7 бассейна, а две трубы — 6/35 бассейна.
При совместной работе производительности складываются, поэтому производительность второй трубы равна разности общей производительности и производительности первой трубы: бассейна в час.
Тем самым, вторая труба заполняет бассейн за 35 часов.
То же самое решение составлением уравнения.
Поскольку первая труба заполняет бассейн за 7 часов, она заполняет одну седьмую бассейна в час. Пусть x — время, за которое вторая труба заполняет бассейн, в час она заполнит 1/х часть бассейна. Известно, что две трубы, работая одновременно, заполнили бассейн за 35/6 часа. Значит, в час они заполняли 6/35 бассейна. Тогда получаем:
Можно даже проще. Найдём время заполнения каждой трубы t, объём выполненной работы V и выполненную работу A (в нашем случае она будет равна 1, так как они заполнили 1 бассейн). Итак, время второй трубы обозначим за x, так как она нам не известна. А первая труба заполняет бассейн за 7 часов.
Тогда объём работы 1 трубы будет равен 1/7. Аналогично 2 труба 1/х. Это мы нашли объём выполненной работы каждой трубой по отдельности. Нам известно что 2 трубы вместе выполнили данную работу за 5 часов 50 минут (то есть 5 целых 5/6). Тогда общий объём равен 6/35 (просто переведите 5 целых 5/6 в неправильную дробь и разделите 1 на на неё).
Отсюда следует, что:
Вальцовка алюминиевых труб своими руками
Источник
Две трубы наполняют бассейн
Для вас ещё пара задач на работу. Здесь речь идет о наполнении резервуаров водой, ничего нового. Совместная работа.
Две трубы наполняют бассейн за 7 часа 55 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 38 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Не забываем перевести минуты в часы. Кроме того, в этой задаче составим таблицу. Производительность первой трубы равна за 1/38 бассейна в час. Производительность второй трубы обозначим y.
- Переведём минуты в часы.
- Понятно, что 55 минут составляют 55/60 часа.
- Можно составить пропорцию:
- 60 минута ––– 1 час
- 55 минут ––– t часов
- Заполним таблицу для первой трубы и двух труб работающих одновременно. Помним, что при совместной работе производительности складывают:
- Можем записать уравнение:
Получили производительность второй трубы 1/10 (бассейна в час). Значит, весь бассейн она заполнит за 10 часов.
Первая труба наполняет резервуар на 60 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 40 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
- Примем производительность первой трубы за х (резервуара в минуту), второй трубы у.
- Составим таблицу, для первой и второй трубы заполним графу «время».
- Первая труба будет заполнять резервуар за 1/х минут, вторая за 1/у минут.
- Первая труба наполняет резервуар на 60 минут дольше, чем вторая, то есть времени затрачивается больше
- Можем записать два уравнения и решить систему:
- Выразим из второго уравнения х:
- Подставим в первое уравнение и решим:
- Решаем квадратное уравнение:
- Подставим найденные значения у в уравнение:
- Система имеет два решения:
Понятно, что производительность не может быть отрицательной. Решением является первая пара. Таким образом, первая труба заполнит 1/120 резервуара в минуту, а вторая 1/60 резервуара в минуту.
- Следовательно весь резервуар второй трубой будет заполнен за 60 минут.
- Можно минуты перевести в часы, тогда будем решать систему:
- Выразим из второго х:
- Подставим в первое уравнение и решим:
- Решаем квадратное уравнение:
- Подставим найденные значения у в уравнение:
- Система имеет два решения:
Решением является первая пара. Первая труба заполнит ½ резервуара в час, а вторая 1 резервуар в час. То есть вторая труба наполнит его за 60 минут.
*Второй подход немного упрощает процесс вычисления, поэтому смело используйте если это вам будет удобно.
Источник
Три трубы работая одновременно наполняют цистерну за 2 часа 40 минут
Две трубы наполняют бассейн за 2 часа 40 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 3 часа. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим и — скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:
Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.
Приведем другое решение.
Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.
Источник
Две трубы наполняют бассейн за 1 час 55 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 46 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим и — скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:
Линия для производства сварных труб диаметром
- По условию задачи одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов, то есть Таким образом,
- Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.
- Приведем другое решение.
Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.
Источник
Две трубы наполняют бассейн за 2 часа 40 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 3 часа. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим и — скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:
- По условию задачи одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов, то есть Таким образом,
- Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.
- Приведем другое решение.
Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.
Источник
Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Труба 25х3 гост 8733 74
Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим и — скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:
- По условию задачи одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов, то есть Таким образом,
- Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.
- Приведем другое решение.
Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.
Источник
Две трубы наполняют бассейн за 2 часа 30 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 3 часа. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим и — скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:
- По условию задачи одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов, то есть Таким образом,
- Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.
- Приведем другое решение.
Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.
Какая труба для печи длительного горения
Источник
Математика В бассейн проведены три трубы Первая труба наливает 30 м3 воды в час Вторая труба
Задача: в бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м3 воды в час. Вторая труба наливает в час на 3V м3 меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м3 больше первой.
Сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают 30% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся 0,7 бассейна.
При каком значенииV бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?
Решение:
Примем объем бассейна за 1. Пусть вначале первая и вторая трубы, работая вместе t1 ч, налили бассейна, далее все три трубы, работая вместе t2 ч, налили бассейна. Тогда время наполнения бассейна
Найдем, при каком V полученное выражение наименьшего значения. Графиком функции является парабола, пересекающая ось абсцисс в точках 20 и ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины этой параболы равна Эта величина лежит в интервале (0; 10), а значит, наибольшее значение квадратного трехчлена на данном интервале и достигается при Осталось заметить, что наибольшее значение знаменателя положительно, поэтому оно соответствует наименьшему значению
Примечание.
В общем случае можно исследовать функцию при помощи производной. Необходимо найти наименьшее значение этой функции на интервале (0; 10). Найдем производную:
Решим уравнение используя равносильность
Нетрудно показать, что это точка минимума, в которой функция достигает наименьшего значения на исследуемом промежутке.
Приведем другое решение.
Пусть объем бассейна равен A м3. Первая и вторая трубы, работая вместе t1 ч, налили м3 бассейна, далее все три трубы, работая вместе t2 ч, налили м3 бассейна. В результате бассейн был налит полностью.
Известно, что для любых двух положительных чисел t1 и t2 верно неравенство (неравенство Коши).
Рассмотрим произведение
Ясно, что знаменатель полученной дроби имеет наибольшее значение в точке А это значит: имеет наименьшее значение в точке (значение V принадлежит заданному промежутку). Следовательно, выражение также будет иметь аналогичное значение в той же точке При этом:
Итак, при получим А это значит, что в точке выражение t1 + t2 также примет наименьшее значение.
* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *
Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится — мы в тебя верим!
Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)
Загрузка...
