Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

  • Гидродинамика — раздел физики сплошных сред, изучающий движение идеальных и реальных жидкости и газа.
  • Как и в других разделах физики сплошных сред, прежде всего осуществляется переход от реальной среды, состоящей из большого числа отдельных атомов или молекул, к абстрактной сплошной среде, для которой и записываются уравнения движения.
  • Идеальная среда

Гидродинамика изучает поведение идеальной жидкости — воображаемой среды без вязкости, сил трения и теплопроводности. Касательные напряжения равны нулю.

Её можно представить, как систему небольших упругих шаров с пренебрежимо малым объёмом, не прилипающих друг к другу. Они часто сталкиваются друг с другом. Поэтому каждый шар переносит при движении массу, импульс, момент импульса, энергию.

  1. Ламинарное и турбулентное движения жидкости
  2. Экспериментально установлено, что в природе существуют два различных вида движения потока — ламинарное (слоистое, упоря­доченное), при котором отдельные слои жидкости скользят друг относительно друга, и турбулентное (неупорядоченное), когда частицы жидкости движутся по сложным, все время изменяющимся траекториям.
  3. Вследствие этого затрата энергии на турбулентное движение потока больше, чем на ламинарное. 

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

Турбулентность — название такого состояния сплошной среды, газа, жидкости, их смесей, когда в них наблюдаются хаотические колебания мгновенных значений давления, скорости, температуры, плотности относительно некоторых средний значений, за счёт зарождения, взаимодействия и исчезновения в них вихревых движений различных масштабов. Происходит их нелинейное вихревое взаимодействие и распространение в пространстве и времени.

Турбулентность может возникать и при нарушении сплошности среды, например, при кавитации (кипении). При опрокидывании и разрушении волны прибоя возникает многофазная смесь воды, воздуха, пены. Мгновенные параметры среды становятся хаотичными.

Ламинарное течение

Отличие ламинарного течения от турбулентного состоит в характере и направлении водных (газовых) потоков. Они перемещаются слоями, не смешиваясь и без пульсаций. Другими словами, движение проходит равномерно, без беспорядочных скачков давления, направления и скорости.

Ламинарное течение жидкости образуется, например, в узких кровеносных сосудах живых существ, капиллярах растений и в сопоставимых условиях, при течении очень вязких жидкостей (мазута по трубопроводу).

Чтобы наглядно увидеть струйный поток, достаточно немного приоткрыть водопроводный кран – вода будет течь спокойно, равномерно, не смешиваясь.

Если краник отвернуть до конца, давление в системе повысится и течение приобретет хаотичный характер.

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока. Линия тока (применяется при неустановившемся движении) это кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлены по касательной.

Трубка тока — трубчатая поверхность, ограниченная линиями тока с бесконечно малым поперечным сечением. Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой.

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

Для случая установившегося движения элементарной струйке придаются следующие свойства:

  • форма элементарной струйки остается неизменной с течением времени;
  • через стенки элементарной струйки движение жидкости не происходит (обмена энергией жидкости между элементарными струйками нет);
  • вследствие малости поперечного сечения элементарной струйки скорость и гидродинамическое давление во всех точках ее поперечного сечения одинаковы.

Уравнение неразрывности жидкости 

В гидравлике обычно рассматривают потоки, в которых не образуются разрывы.

Если выделить в потоке два любых сечения, отстоящих друг от друга на некотором расстоянии, то за время Δt через сечение S проходит объем жидкости SvΔt; следовательно, за 1 с через S1 пройдет объем жидкости S1v1где v1— скорость течения жидкости в месте сечения S1.

Через сечение S2 за 1 с пройдет объем жидкости S2v2где v2— скорость течения жидкости в месте сечения S2. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (ρ = const), то через сечение S2пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S1, т. е.

S1v1S2v2 = const 

Произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

Уравнение Бернулли

При движении идеальной жидкости не происходит превращения механической энергии во внутреннюю, поэтому выполняется закон сохранения механической энергии.

Стационарным принято называть такой поток жидкости, в котором не образуются вихри. В стационарном потоке частицы жидкости перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называются линиями тока. Опыт показывает, что стационарные потоки возникают только при достаточно малых скоростях движения жидкости.

Рассмотрим стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения. Различные части трубы могут находиться на разных высотах. У идеальной жидкости трение полностью отсутствует.

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

Выделим в стационарно текущей несжимаемой идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой жидкость течет слева направо.

Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1 давление р1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление р2, высота сечения h2.

 За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечения S1 к сечениюS'1, от S2 к S'2.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии Е2 — Е1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости, где 

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

— полные энергии жидкости массой т в местах сечений S1 и S2 соответственно.

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

  • С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый промежуток времени Δt: 
  • Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли
  • Тогда

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

или

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

где р — статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела),

ρv2/2 — динамическое давление.

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

Следствия:

1. Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности  следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше.

Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров. В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

2. Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля.

Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р0), с помощью другой — статическое (р).

Манометром измеряется разность давлений:

  1. p0  p = ρgh
  2. где ρ — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:
  3. p0 — = ρv2/2

3. Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса. Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью.

В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст.

= 133,32 Па).

4. Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие.

Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

Так как давления р1и р2в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p1 = p2, то уравнение будет иметь вид

  • Из уравнения неразрывности следует, что v2/v1 = S1/S2где S1 и S2 — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>>S2, то членом v21/2 можно пренебречь и
  • Это выражение получило название формулы Торричелли.

Идеальная жидкость. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли

В гидроаэромеханике используется единый подход к изучению жидкостей и газов. Жидкости и газы рассматривают как сплошные среды, не вдаваясь в их молекулярное строение. Жидкость считается несжимаемой, поскольку ее плотность мало зависит от давления.

Однако, как показывают расчеты, при движении газов со скоростями, намного меньшими скоро- сти звука в этой среде, их также можно с достаточной точностью считать несжимаемыми.

Движение жидкости (газа) называется течением, а совокупность движущихся частиц жидкости – потоком.

Графически движение жидкости изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касатель- ные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис.1.14.а). Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока (рис.1.14.в).

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

а) в)

Рис.1.14

Течение жидкости называется стационарным (устано- вившимся), если значение скоростей в каждой ее точке со временем не меняется. Для стационарного течения несжима- емой жидкости справедливо соотношение

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

Следовательно, при стационарном течении произведе ние скорости течения на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная. Это соотношение называется уравне- нием неразрывности.

Жидкость, у которой полностью отсутствуют силы внутреннего трения, называeтся идеальной. Течение идеальной жидкости не сопровождается диссипацией энергии.

Применение закона сохранения механической энергии к установившемуся течению жидкости позволяет получить соотношение

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

Это уравнение называется уравнением Бернулли.

Величина в формуле называется статическим давле- нием, величина — динамическим давлением (напором), а величина — гидростатическим давлением.Для горизон- тальной трубки выражение (1.80) принимает вид

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

где Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли — полное давление.

Из формул (1.79) и (1.81) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в широких местах, т.е. там, где скорость меньше.

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого имеется малое отверстие (рис.1.15).

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

Рис.1.15

Напишем уравнение Бернулли для сечений на уровне и :

. (1.82)

Так как давления и в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т.е. = , то уравне- ние будет иметь вид

. (1.83)

Из уравнения неразрывности (1.79) следует, что , где и — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если >> , то , или

. (1.84)

Основы гидравлики



Бернулли — вне всякого сомнения — имя, знакомое и специалистам, и обывателям, которые хоть немного интересуются науками.

Читайте также:  Клей для полистиролбетонных блоков: преимущества перед раствором

Этот человек оставил ослепительный след в истории познавания человечеством окружающего мира, как физик, механик, гидравлик и просто общепризнанный гений, Даниил Бернулли навсегда останется в памяти благодарных потомков за свои идеи и выводы, которые долгое время существования человечества были покрыты мраком неизведанного. Открытия и законы, которыми Бернулли осветил путь к познанию истины, являются фундаментальными, и придали ощутимый импульс развитию многих естественных наук. К таковым относится и уравнение Бернулли в Гидравлике, которое он вывел почти три века назад. Данное уравнение является основополагающим законом этой сложной науки, объясняющим многие явления, описанные даже древними учеными, например, великим Архимедом.

Попробуем уяснить несложную суть закона Бернулли (чаще его называют уравнением Бернулли), описывающего поведение жидкости в той или иной ситуации.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, которая ограничена сечениями S1 и S2, (рис. 1). (Понятие идеальной жидкости абстрактно, как и понятие всего идеального. Идеальной считается жидкость, в которой нет сил внутреннего трения, т. е.

трения между отдельными слоями и частицами подвижной жидкости). Пусть в месте сечения S1 скорость течения ν1, давление p1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения ν2, давление p2 и высота сечения h2.

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

  • За бесконечно малый отрезок времени Δt жидкость переместится от сечения S1 к сечению S1', от S2 к S1'.
  • По закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2 — E1 идеальной несжимаемой жидкости равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:
  • E1 — E2 = A     (1)
  • где E1 и E2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответственно.

С другой стороны, А — это работа, которая совершается при перемещении всей жидкости, расположенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый отрезок времени Δt.

Чтобы перенести массу m от S1 до S1' жидкость должна переместиться на расстояние L1 = ν1Δt и от S2 до S1' — на расстояние L2 = ν2Δt. Отметим, что L1 и L2 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.

1, приписывают постоянные значения скорости ν, давления р и высоты h. Следовательно,

A = F1L1 + F2L2     (2)

где F1 = p1S1 и F2 = — p2S2 (сила отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; см. рис. 1).

  1. Полные энергии E1 и E2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:
  2. E1 = mv12/2 + mgh1     (3)
  3. E2 = mv22/2 + mgh2     (4)
  4. Подставляя (3) и (4) в (1) и приравнивая (1) и (2), получим
  5. mv12/2 + mgh1+ p1S1v1Δt = mv22/2 + mgh2+ p2S2v2Δt.     (5)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости, объем, занимаемый жидкостью, всегда остается постоянным, т. е.

  • ΔV = S1v1Δt = S2v2Δt.
  • Разделив выражение (5) на ΔV, получим
  • ρv12/2 + ρgh1 +p1 = ρv22/2 + ρgh2 + p2,
  • где ρ — плотность жидкости.
  • После некоторых преобразований эту формулу можно представить в другом виде:
  • v12/2g + p1/ρg + z1 = v22/2g + p2/ρg + z2.
  • Поскольку сечения выбирались произвольно, то в общем случае можно записать:
  • ρv2/2 +ρgh +p = const      (6).

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

Выражение (6) получено швейцарским физиком Д. Бернулли (опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли.

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700 — 1782), швейцарский физик, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750).

Уравнение Бернулли по своей сути является интерпретацией закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Уравнение хорошо выполняется и для реальных жидкостей, для которых внутреннее трение не очень велико.

Величина р в формуле (6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρν2/2 — динамическим давлением, величина ρgh — гидростатическим давлением.

Статическое давление обусловлено взаимодействием поверхности жидкости с внешней средой и является составляющей внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема жидкости (т. е.

характеризуется взаимодействием внутренних частиц жидкости, вызванных внешним возмущением — давлением), а гидростатическое – положением этого объема жидкости в пространстве (зависит от высоты над поверхностью Земли).

Динамическое давление характеризует кинематическую составляющую энергии этого объема, поскольку зависит от скорости потока, в котором движется рассматриваемый элементарный объем жидкости.

  1. Для горизонтальной трубки тока изменение потенциальной составляющей ρgh будет равно нулю (поскольку h2 – h1 = 0), и выражение (6) примет упрощенный вид:
  2. ρv2/2 + p = const     (7).
  3. Выражение p + ρν2/2 называется полным давлением.
  4. Таким образом, содержание уравнения Бернулли для элементарной струйки при установившемся движении можно сформулировать так: удельная механическая энергия при установившемся движении элементарной струйки идеальной жидкости, представляющая собой сумму удельной потенциальной энергии положения и давления и удельной кинетической энергии, есть величина постоянная.

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

Все члены уравнения Бернулли измеряются в линейных единицах.

В гидравлике широко применяют термин напор, под которым подразумевают механическую энергию жидкости, отнесенную к единице ее веса (удельную энергию потока или неподвижной жидкости).

Величину v2/2g называют скоростным (кинетическим) напором, показывающим, на какую высоту может подняться движущаяся жидкость за счет ее кинетической энергии. Величину hп = p/ρg называют пьезометрическим напором, показывающим на какую высоту поднимается жидкость в пьезометре под действием оказываемого на нее давления.

Величину z называют геометрическим напором, характеризующим положение центра тяжести соответствующего сечения движущейся струйки над условно выбранной плоскостью сравнения.

Сумму геометрического и пьезометрического напоров называют потенциальным напором, а сумму потенциального и скоростного напора — полным напором.

На основании анализа уравнения Бернулли можно сделать вывод, что при прочих неизменных параметрах потока (жидкости или газа) величина давления в его сечениях обратно пропорциональна скорости, т. е. чем выше давление, тем меньше скорость, и наоборот.

Это явление используется во многих технических конструкциях и устройствах, например, в карбюраторе автомобильного двигателя (диффузор), в форме крыла самолета.

Увеличение скорости воздушного потока в диффузоре карбюратора приводит к созданию разрежения, всасывающего бензин из поплавковой камеры, а специальная форма сечения самолетного крыла позволяет создавать на его нижней стороне зону повышенного давления, способствующего появлению подъемной силы.

***

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Поскольку напор измеряется в линейных величинах, можно дать графическую (геометрическую) интерпретацию уравнению Бернулли и его составляющим.

На графике (рис. 2) представлена горизонтальная плоскость сравнения 0-0, относительно которой геометрический напор будет в каждом сечении равен вертикальной координате z центра тяжести сечения (линия геометрического напора проходит по оси струйки). Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли Линия К-К, характеризующая потенциальный напор струйки, получена сложением геометрического и пьезометрического напора в соответствующих сечениях (т. е. разница координат точек линии К-К и соответствующих точек оси струйки характеризует пьезометрический напор в данном сечении). Полный напор характеризуется линией MN, которая параллельна плоскости сравнения О-О, свидетельствуя о постоянстве полного напора H'e (удельной механической энергии) идеальной струйки в любом ее сечении.

При движении реальной жидкости, обладающей вязкостью, возникают силы трения между ограничивающими поток поверхностями и между слоями внутри самой жидкости.

Для преодоления этих сил трения расходуется энергия, которая превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущейся жидкостью. По этой причине графическое изображение уравнения Бернулли для идеальной жидкости будет отличаться от аналогичного графика для реальной жидкости.

Если обозначить hf потери напора (удельной энергии) струйки на участке длиной L, то уравнение Бернулли для реальной жидкости примет вид:

v12/2g + p1/ρg + z1 = v22/2g + p2/ρg + z 2 + hf.

Для реальной жидкости полный напор вдоль струйки не постоянен, а убывает по направлению течения жидкости, т. е. его графическая интерпретация имеет вид не прямой линии, а некоторой кривой МЕ (рис. 3). Заштрихованная область характеризует потери напора.

  • Падение напора на единице длины элементарной струйки, измеренной вдоль оси струйки, называют гидравлическим уклоном:
  • i = dHe/dL = — dhf/dL .
  • Гидравлический уклон положителен, если напорная линия снижается по течению жидкости, что всегда бывает при установившемся движении.
  • α1v12/2g + p1/ρg + z1 = α2v22/2g + p2/ρg + z 2 + hf,

Для практического применения уравнения Бернулли необходимо распространить его на поток реальной жидкости:

где α1,α2 — коэффициенты Кориолиса, учитывающие различие скоростей в разных точках сечения потока реальной жидкости. На практике обычно принимают α1 = α2 = α: для ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах α = 2, для турбулентного режима α = 1,04…1,1.

***



Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (S1v1Δt = S2v2Δt) видно, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, которая имеет различные сечения, скорость жидкости больше в более узких местах (где площадь сечения S меньше), а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно увидеть, установив вдоль трубы ряд манометров.

Данный опыт показывает, что в манометрической трубке В, которая прикреплена к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, которые прикреплены к широкой части трубы, что соответствует уравнению Бернулли.

Так как динамическое давление зависит от скорости движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли можно использовать для измерения скорости потока жидкости. Принципиально это свойство жидкости для определения скорости потока реализовано в так называемой трубке Пито – Прандтля (обычно ее называют трубкой Пито).

Движение жидкости по трубам уравнение неразрывности уравнение бернулли

Трубка Пито – Прандтля (см. рис. 2) состоит из двух тонких стеклянных трубок, одна из которых изогнута под прямым углом (Г-образно), а вторая — прямая. Одним из свободных концов каждая трубка присоединена к манометру.

Изогнутая трубка имеет открытый свободный конец, направленный против тока и принимающий напор потока жидкости, а вторая погружена в поток перпендикулярно току, и скорость потока на давление внутри трубки не влияет, т. е.

внутри этой трубки действует лишь статическая составляющая давления жидкости.

  1. Разница между давлением в первой трубке (полное давление) и второй трубке (статическое давление), которую показывает манометр, является динамическим давлением, определяемым по формуле:
  2. p = ρv2/2.
  3. Определив с помощью трубки Пито — Прандтля динамическое давление в потоке жидкости, можно легко вычислить скорость этого потока:
  4. v = √(2p0gh/ρ).
Читайте также:  Алюминий труба в иркутске

Уравнение Бернулли также используют для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, с маленьким отверстием в боковой стенке на некоторой глубине ниже уровня жидкости.

Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h1 выхода ее из отверстия) и применим уравнение Бернулли:

ρv12/2 + ρgh1 + p1 = ρv22/2 + ρgh2 + p2,

Так как давления р1 и р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р1 = р2, то уравнение будет иметь вид

  • v12/2 +gh1 = v22/2 +gh2.
  • Из уравнения неразрывности мы знаем, что ν1/ν2 = S2/S1, где S1 и S2 — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1значительно превышает S2, то слагаемым ν12/2 можно пренебречь и тогда:
  • v2 = √2gh.

Это выражение получило название формулы Торричелли.

Формулу Торричелли можно использовать для подсчета объемного (или массового) расхода жидкости, истекающего из отверстия в сосуде с поддерживаемым постоянно уровнем под действием атмосферного давления.

При этом используется формула Q = vS (для определения массового расхода – m = ρvS), по которой определяется расход жидкости за единицу времени.

  1. Если требуется узнать расход жидкости за определенный промежуток времени t, то его определяют, умножив расход за единицу времени на время t.
  2. Следует отметить, что такая методика расчета расхода реальной жидкости через отверстие в стенке сосуда дает некоторые погрешности, обусловленные физическими свойствами реальных жидкостей, поэтому требует применения поправочных коэффициентов (коэффициентов расхода).
  3. ***

Пример решения задачи на определение расхода жидкости

Определить примерный объемный расход воды, истекающей из отверстия диаметром 10 мм, проделанном в вертикальной стенке широкого сосуда на высоте h = 1 м от верхнего, постоянно поддерживаемого, уровня воды за 10 секунд. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2. Коэффициент расхода воды через отверстие — µs = 0,62.

  • Решение:
  • По формуле Торричелли определим скорость истечения воды из отверстия:
  • v = √2gh = √2×10×1 ≈ 4,5 м/с.
  • Определим расход воды Q за время t = 10 секунд:
  • Q = µsvSt = 0,62×4,5×3,14×0,012/4 × 10 ≈ 0,0022 м3 ≈ 2,2 литра.
  • ***

На практике расход жидкости в трубопроводах измеряют расходомерами, например, расходомером Вентури. Расходомер Вентури (см рис.

2) представляет собой конструкцию из двух конических патрубков, соединенных цилиндрическим патрубком.

В сечениях основной трубы и цилиндрического патрубка устанавливают трубки-пьезометры, которые фиксируют уровень жидкости, обусловленный полным давлением в потоке.

При прохождении жидкости через сужающийся конический патрубок часть потенциальной энергии потока преобразуется в кинетическую, и, наоборот, – при прохождении потока по расширяющемуся коническому патрубку, кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная растет.

Это сказывается на скорости движения жидкости по рассматриваемым участкам. Перепад высоты уровня жидкости в пьезометрах позволяет рассчитать среднюю скорость потока жидкости на рассматриваемых участках и вычислить объемный расход по внутреннему сечению трубы.

В расходомерах учитываются потери напора в самом приборе при помощи коэффициента расхода прибора φ.

***

Гидравлические сопротивления



Главная страница

Дистанционное образование

  • Группа ТО-81
  • Группа М-81
  • Группа ТО-71

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Формулировка закона Бернулли и его математическое выражение

Принцип Бернулли заложил основы знания о движении жидкости, которое впоследствии перешло в самостоятельную науку — гидродинамику.

Физическая сущность закона Бернулли

Швейцарский математик и физик Даниил Бернулли родился в 1716 году в Голландии.

За свою научную карьеру он получил звания Почетного члена Берлинской, Петербургской и Парижской академии наук, являлся членом Лондонского королевского общества.

Главным научным трудом ученого является работа «Гидродинамика, или изъяснение сил и движений жидкости», опубликованная в 1733 году. Именно в этой книге были описаны физические основы механики жидкости.

Закон, названный его именем, Бернулли сформулировал во время работы в России, изучая взаимосвязь давления жидкости с ее скоростью. В математическом выражении он определяется уравнением Бернулли. Давайте разберемся, в чем состоит сущность закона.

Для начала определим, что закон Бернулли рассматривает движение потока несжимаемой идеальной жидкости, на которую действуют только силы тяжести и силы упругости.

Идеальная жидкость — это жидкость, в которой полностью отсутствует внутреннее трение и теплопроводность, ввиду чего, она лишена касательных напряжений между соседними слоями.

Подобная идеализация применяется при рассмотрении течения в гидродинамике.

В законе Бернулли рассматривается стационарное течение жидкости — это движение слоев жидкости относительно друг друга и относительно ее самой, при котором скорость потока в некой конкретной точке не меняется, сохраняя свое постоянное значение. Давление при стационарном течении идеальной жидкости одинаково во всех поперечных сечениях трубки тока.

Для наглядности рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения. В одном месте сечение этой трубки равно S1, а в другом — S2.

При стационарном потоке через все сечения за определенный промежуток времени пройдет одинаковый объем жидкости, так как в ином случае, невозможность сжатия привела бы к ее разрыву.

Таким образом, мы получаем уравнение неразрывности струи, определяющее соотношение между скоростью течения (v) и площадью сечения (S): S1v1=S2v2

Источник: getclass.ru

При этом скорость давление в сечении S1 меньше, чем в сечении S2. Как вы думаете, в каком из сечений скорость течения жидкости будет больше? Казалось бы, что по логике, скорость должна увеличиваться в том месте, где больше давление. Однако, согласно закону Бернулли, скорость увеличивается с уменьшением площади сечения. В этом-то и состоит парадоксальность принципа.

Закон Бернулли гласит, в тех участках течения жидкости или газа, где скорость больше, давление меньше, и наоборот, с увеличением давления жидкости, протекающей в трубе, скорость ее движения уменьшается. То есть, где больше скорость (v), там меньше давление (p).

Чтобы убедиться в этом, достаточно провести небольшой опыт из подручных средств. Возьмите два шара одного размера и подвесьте их так, чтобы между ними сохранялось небольшое расстояние.

Подуйте между шарами или пустите воздух из фена. Шары вместо того, чтобы отдалиться, притянутся друг к другу.

Это прямое следствие описанного закона, так как в том месте, куда вы дули, давление стало уменьшаться, а скорость шаров возросла, приблизив их друг к другу.

Источник: getclass.ru

Закон Бернулли как следствие закона сохранения энергии

  • Из уравнения неразрывности следует, что в идеальной жидкости сумма статистического и динамического давлений и скоростного напора постоянна в любом сечении вдоль трубы. Являясь следствием закона сохранения, вывод уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости выглядит так:
  • ( frac{
    ho v^2}{2} +
    ho g h + p = mathrm{const}),
  • где (~
    ho) — плотность жидкости, (~v) — скорость потока, (~h) — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, (~p) — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, (~g) — ускорение свободного падения.

При этом давление P — это статическое давление, которое получается в результате взаимодействия соседних слоев жидкости. Величина ρv2/2 — это динамическое давление, обусловленное движением жидкости, а ρgh — это давление, образованное массой вертикального столба жидкости высотой h, создаваемое силой тяжести.

  1. Все эти величины имеют специальные обозначения, где h — высота положения или геометрический напор, P / ρ∙g — пьезометрический напор, v2 / 2g — скоростной напор.
  2. Сумма трех слагаемых уравнения называется полным напором (H), то есть для идеальной жидкости при стационарном течении сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.
  3. Для трубы, расположенной горизонтально, где величина высоты остается неизменной, уравнение Бернулли упрощается и выглядит так:
  4. ({ extstylefrac{
    ho v^2}2}+p=mathrm{const})

Проявление закона Бернулли в жизни

Закон Бернулли описывает одно из основных свойств гидравлики. Эффект, описанный швейцарским ученым, широко проявляется в природе и быту. Также широко его применение в технике. На основе принципа Бернулли работают такие приборы, как пульверизатор, водоструйный насос, аэрограф.

Чтобы понять механизм устройства, рассмотрим строение пульверизатора, которое включает в себя вертикальную трубку и горизонтальное сопло.

Вертикальную трубку опускают в жидкость, в то время как по соплу пропускают воздух. Атмосферное давление, которое больше давления в струе воздуха, заставляет жидкость подниматься по трубке.

Следовательно, при попадании в струю воздуха, происходит распределение жидкости.

Источник: dststone.ru

В повседневной жизни закон Бернулли можно наблюдать, сидя у камина. При сильном ветре скорость воздушного потока возрастает, и, соответственно, падает давление. И так как давление воздуха в комнате выше, пламя, уходит вверх по дымоходу.

Это свойство используется и в аэродинамике для объяснения того, как возникает подъемная сила самолета или другого летательного аппарата, которое тяжелее воздуха.

В истории имеются и случаи отрицательного проявления закона. В 1912 году произошло столкновение океанского парохода «Олимпик» с гораздо меньшим по масштабам крейсером «Гаук», который плыл параллельно пароходу на расстоянии около 100 метров.

Вдруг «Гаук» резко двинулся прямо на «Олимпик» и протаранил его силой удара. Так как два корабля были друг к другу слишком близко, скорость воды между ними стала больше, чем с другой стороны, вызвав дополнительную силу.

Следовательно, вместо того, чтобы отдалиться, корабли притянулись друг к другу, что и стало причиной катастрофы.

Источник: wikipedia.org

В природе закон Бернулли проявляется во время урагана, когда из-за сильного ветра с домов слетают крыши.

Это происходит, потому что скорость, с которой движется воздух вверху, очень большая, тогда как на чердаке она равна нулю.

Как вы уже узнаете, там, где скорость потока больше, давление меньше, а там, где скорость меньше, давление больше. В результате образовавшейся разности давлений ураган и срывает кровлю.

Существует еще большое количество интересных примеров, изучение которых во многом упрощает усвоение закона Бернулли. Если вам нужно определить проявление закона в каком-то конкретном явление, обращайтесь к специалистам сервиса Феникс.Хелп, которые помогут решить задачу любой сложности.

Уравнение Бернулли — вывод формулы, физический смысл, примеры использования

Время на чтение: 14 минут

Исследования учёного

Даниил Бернулли родился в Голландии в 1700 году. В 1725 году он начал работать на кафедре физиологии, где увлёкся основами теоретической физики.

Через 25 лет он возглавил кафедру экспериментальной физики, которой и руководил до конца своих дней. Основным его трудом считается создание теории гидродинамической зависимости, известной как Закон Бернулли.

Открытие учёного предвосхитило зарождение молекулярно-кинетического учения поведения газов.

Причиной открытия принципа стало изучение действия закона сохранения энергии в различных ситуациях. Бернулли установил, что давление жидкости в замкнутом пространстве зависит от сечения объекта, в котором она находится. Чем меньше сечение трубы, тем ниже будет созданное давление в пропускаемом через неё жидком веществе.

Этот факт был доказан экспериментально и описан математически.

Правило в математической формулировке имеет вид (pv2/ 2) + p * g * h + ρ = const, где:

  • p — количество жидкости на единицу объёма;
  • v — скорость движения потока;
  • h — уровень, на который поднят элемент жидкости;
  • ρ — сила, действующая на единицу площади;
  • g — ускорение, придаваемое жидкости под действием притяжения Земли.

Чтобы понять физический смысл уравнения Бернулли, нужно рассмотреть трубу переменного сечения, в которой существует точка А и Б. Первая располагается в широкой части, а вторая — в узкой.

Читайте также:  Фундамент под звеньями труб

В соответствии с уравнением непрерывности скорость V1 в части трубы, имеющей большее сечение, будет меньше, чем скорость жидкости V2 в узком сечении. Если в жидкость поместить прибор для измерения давления, он покажет какое-то значение P1 в точке A и P2 в точке Б.

При этом там, где скорость движения жидкости медленнее, давление будет больше.

Объясняется это следующим образом: если V1 больше V2, значит, при движении происходит изменение скорости течения. Представив, что в жидкости находится точка, можно утверждать о её движении с ускорением. Это означает, что на неё действуют силы.

Одна из них совпадает с направлением течения, тем самым ускоряя движение. Обусловлена эта сила разностью давления.

Так как движение происходит от точки А к Б, то и давление возле А будет больше, чем около Б. Эта разность давлений и приводит к ускорению.

Условия действия

Закон применим для условия, при котором соблюдается неразрывность струи воздуха или жидкости. В тех участках потока, где скорость течения больше, давление будет меньше и наоборот. Это утверждение и называется теоремой Бернулли. По сути, закон позволяет установить связь между давлением, скоростью, высотой.

Пусть имеется труба переменного сечения с изменяющейся высотой. Внизу она широкая, а затем сужается. По ней течёт жидкость. Площадь сечения можно обозначить как S1 и S2, а давление участков и скорость движения на них P1, P2, V1, V2. Высота внизу будет равняться S1, а вверху S2.

Выделив участок в трубе с жидкостью, можно сказать, что она движется слева направо и через некоторое время полностью сдвинется в область S2. Изменение положения слева будет равно расстоянию дельта L1, а справа — дельта L2.

Течение является:

  • ламинарным — находящаяся в трубке жидкость перемешивается слоями без хаотических изменений давления и скорости, турбулентность отсутствует;
  • стационарным — распределение скоростей не изменяется с течением времени;
  • скоростным — в движении принимает участие такой параметр, как ускорение;
  • идеальным с несжимаемой жидкостью.

Последнее обозначает, что нет вязкости. Поэтому на жидкость действует только сила упругости и тяжести, а силы трения нет. Система не является замкнутой, а значит закон сохранения энергии применительно к рассматриваемому участку использовать нельзя. Зато вполне можно применить теорему о кинетической энергии.

Для газов уравнение можно использовать лишь в том случае, если их плотность изменяется незначительно. Но касаемо аэродинамики учитывается и то, что изменение давления воздуха гораздо меньше атмосферного. Поэтому уравнение можно применять в аэродинамических расчётах.

Согласно ему, сумма действующих всех сил на тело (рассматриваемый кусок жидкости) равняется изменению кинетической энергии объекта: ΣAi = ΔEk.

На нижний участок действует сила давления, выполняющая положительную работу, а на верхний — отрицательную. Кроме этого, действует и сила тяжести. Так как жидкость поднимается, она имеет тоже отрицательный знак.

Сила бокового давления перпендикулярна любой точке в системе, поэтому никакого влияния она не оказывает.

Количественная сторона

Исходя из сил, действующих на тело, изменение кинетической энергии можно описать выражением: ΔEk = Ap1 +Ap2 +Ag. Чтобы найти работу, необходимо силу умножить на пройденное расстояние. Поэтому работа силы давления равна произведению самой силы F на модуль перемещения ΔL и косинусу угла между ними: Ap1 = F1* ΔL *1.

Чтобы найти силу, нужно давление умножить на площадь. Значит: Ap1 = p 1 * S1 * ΔL1 = p1V1. Таким же образом находится работа для второго состояния: Ap2 = F1* ΔL2 *(-1) = — p2 * S2 * ΔL2 = -p2 * V2. Жидкость несжимаемая, следовательно: V1=V2=V.

Работу силы тяжести можно вычислить исходя из того, что рассматриваемый кусок жидкости является относительным, то есть он, хотя и не статический, в любом месте будет подвергаться воздействию одинаковой силы тяжести.

Верным будет выражение: Ag = — ΔEp = — (m2 * g * h2 — m1 * g * h1) = m1 * g * h1 — m2 * g * h2. Так как жидкость несжимаемая, её плотность не изменится. Отсюда можно утверждать: Ag = ρ * V * g * h1 — ρ * V * g * h2.

Зная количественные показатели всех трёх работ, можно найти изменение кинетической энергии. Из физики известно, что оно равно разнице конечной и начальной энергии.

Течение стационарное, значит, скорость с течением времени не изменится.

Следовательно, кинетическая энергия будет определяться разницей появившейся энергии в верхней части и ушедшей из нижней области: ΔEk = (m2 * v22)/2 — (m1 * v12) / 2.

Воспользовавшись тем, что масса равняется произведению плотности на объём, формулу можно привести к виду: ΔEk = (ρ * V * v22)/2 — (ρ * V * v12) / 2. Теперь найденные выражения для работ нужно подставить в теорему о кинетической энергии.

Получится следующее равенство: p1V — p2V + ρ * V * g * h1 — ρ * V * g * h2 = (ρ * V * v22) / 2 — (ρ * V * v12) / 2.

Разделив левую и правую часть на объём, выражение можно упростить до вида: p1 — p2 + ρ * g * h1 — ρ * g * h2 = (ρ * v22)/2 — (ρ * v12) / 2 .

То место, где давление p1, некая точка внутри трубки, пусть будет обозначено цифрой один, а там, где p2, — цифрой два. Всё что относится к единице можно записать в левой части, а к двойке — в правой: ρ1 * g * h1 + (ρ * v12) / 2 = ρ * g * h2 + (ρ * v22) / 2.

Полученная формула показывает, что при переходе в пределе одной линии скорость, давление и высота изменяются. Поэтому в любой точке будет справедливым выражение: ρ1+ ρ * g * h + (ρ * v1) / 2 = const.

Это и есть количественное описание уравнения Бернулли для идеальной жидкости.

Применение в гидравлике

Наиболее типичным примером использования уравнения является решение заданий по нахождению скорости вытекания жидкости из отверстия в широком сосуде. Такой ёмкостью называют систему, в которой диаметр сосуда значительно больше размера отверстия. Необходимо найти скорость вытекающей жидкости U1. Известно, что высота столба жидкости, на который действует сила тяжести g, равна h.

Пусть в жидкости, находящейся сверху, имеется точка один. Через некоторое время она окажется внизу в положении два. На верх жидкости давит атмосферное давление, поэтому p1=pатм. Высота в точке один равна h. Скорость U1 считают равной нулю. Давление p2 в точке два будет также равно атмосферному. Так как жидкость опустится на дно, то высота h2 станет нулевой.

Все эти величины следует подставить в уравнение Бернулли. Получится выражение: pатм + ρ * g * h + 0 = pатм + (ρ * U2) / 2 + 0. Атмосферное давление взаимно уничтожается: ρ * g * h = (ρ * U2) / 2.

В левой и правой части стоит плотность, на которую можно сократить. Отсюда получается, что вид жидкости значения не имеет. Это может быть: вода, ртуть, расплавленный металл. Эффект от этого не поменяется.

Из формулы можно выразить искомое U2. Оно будет равно: U2 = (2 * g * h)½.

Интересным фактом является то, что полученный ответ при решении задачи называется формулой Торричелли. Она показывает, что скорость, с которой вытекает жидкость из широкого сосуда, равна скорости тела при свободном падении с той же высоты.

Используя уравнение, можно легко рассчитать давление жидкости на дно и стенки сосуда. В этом случае закон Бернулли является обобщением для формулы гидростатического давления. Пусть имеется сосуд с жидкостью высотой h.

Точка, находящаяся наверху, характеризуется давлением p1 = pатм., высотой h1 равной h и скоростью U1. Для точки на дне параметры будут следующие: p2 = p, h2 = 0, U2 = 0.

Скорости принимаются равными нулевому значению, так как рассматриваемая жидкость находится в состоянии покоя.

Данные следует подставить в уравнение. В итоге получится равенство: pатм + ρ * g * h + 0 = p + 0 + 0. Из него несложно найти неизвестное: p = pатм + ρ * g * h. Полученный ответ является формулой гидростатического давления и подтверждает закон Паскаля.

Аналогично уравнение Бернулли для потока реальной жидкости используется при расчёте расхода в карбюраторе, пульверизаторе, учёте статического и динамического давления.

Подъёмная сила

Самолёт летает благодаря тому, что набегающий на крыло напор воздуха создаёт подъёмную силу. Её можно рассчитать и оценить с помощью уравнения. Геометрически крыло можно представить в виде плоскости с углом a (угол атаки).

На него действует поток воздуха со скоростью U. Частица воздуха ударяет в твёрдую поверхность и отражается от неё. Угол отражения равен углу атаки, а её скорость равняется U'. Нужно рассчитать подъёмную силу.

Для этого необходимо выполнить три шага:

  • рассмотреть изменение скорости воздуха;
  • узнать импульс частиц;
  • используя закон Ньютона, определить силу.

В результате получится, что на крыло действует сила, состоящая из двух компонентов: подъёмной силы Fy и аэродинамического сопротивления Fx. Fy = Cy * p * U2 * S, а Fx = Cx * p * U2 * S. В формулах С является коэффициентом, а S — площадью крыла.

Для расчёта используется уравнение Бернулли. Выглядеть оно будет следующим образом: Pп. к + (ρ * Uп. к) * 2 / 2 + ρ * g * hп. к = Pн. к + (ρ * Uн. к) * 2 / 2 + ρ * g * hн. к, где: п. к — под крылом, а н. к — над крылом.

Это уравнение можно упростить, приняв, что давления над и под крылом примерно одинаковые, поэтому плотность будет также одинаковая. Кроме того, высота крыла довольно маленькая. Исходя из этого, формулу можно упростить, и она примет вид: pп. к-pн.к = (ρ * (Uн.к + Uп. к) * (Uн.к — Uп. к)) / 2 = 2 * U1 * U2.

Теперь можно найти подъёмную силу. Для этого разность давлений нужно умножить на площадь крыла: Fy = (pп.к-pн. к) * S.

Таким образом, используя метод, можно рассчитать подъёмную силу, обусловленную эффектом Бернулли. Например, пусть дано, что площадь крыла равна 50 м². Скорость потока воздуха над крылом и под ним соответственно равны: U1 = 320 м/с, U2 = 290 м/с. Найти грузоподъёмность. Для решения задания нужно знать дифференциальную плотность воздуха. Это справочная величина, равная 1,29 кг/м3.

Используя уравнение Бернулли, можно записать: pп. к-pн.к = ρ * (U2н.к — U2п. к). Подъёмная сила равна площади крыла, умноженной на разность давления. Подставив одно выражение в другое, получим рабочую формулу: Fy = ρ * (U2н.к — U2п. к) * S / 2. После выполнения расчёта получится ответ 590 кН. То есть грузоподъёмность самолёта составит порядка 59 тонн.

Реальные вычисления для таких задач довольно сложные, поэтому часто используют онлайн-калькуляторы.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector